Les anciens avaient découvert ce triangle très spécial, et en utilisaient la plus remarquable propriété pour la construction de leurs bâtiments.

Vous souvenez-vous des triangles rectangles ? Un triangle, trois angles dont un angle droit. Et le côté opposé à l'angle droit, c'est l'hypothénuse.

Qui dit "triangle rectangle" dit Théorème de Pythagore : la somme des carrés des petits côtés est égale au carré de l'hypothénuse.

En général, si les longueurs petits côtés sont des nombres entiers, l'hypothénuse est une jolie racine carrée irréductible. Sauf dans certains cas.

Soit un triangle particulier : une triangle rectangle dont un côté est égal à 3, l'autre à 4, comme dans la figure ci-dessous :

Calculons l'hypothénuse :

3 x 3 = 9

4 x 4 = 16

9 + 16 = 25,

et la racine de 25, c'est 5 !

Donc, en vertu du Théorème de Pythagore, ce triangle est un triangle rectangle !

Voilà, nous avons un triangle rectangle dont les trois côtés sont de longueurs respectives 3, 4 et 5. Dans l'absolu, il y a peu de chances pour qu'un triangle ait des côtes qui soient tous des nombres entiers. Et, de plus, ces trois nombres sont assez petits, pas la peine d'aller chercher cette propriété parmi les très grands nombres.

Maintenant, comment utiliser ce triangle simple ? Imaginons un chantier à l'ancienne, un grand chantier, une cathédrale par exemple. Les constructeurs ont aplani le terrain, et il faut tracer le plan sur le sol, en grandeur réelle. Et la construction est basée sur l'angle droit : le transept qui traverse la nef à angle droit, et tous les murs qui se rejoignent à angle droit... Ou bien même une pyramide, dont la base est un carré bien carré, et pas un losange...

Comment dessiner un angle droit à grande échelle (pour un bâtiment, par exemple) ? Avec une équerre ? Une équerre de 30 cm pour une construction de plusieurs dizaines de mètres ? Tss, tss... La moindre erreur se multiplierait... Il suffit de savoir qu'une erreur d'un degré (à peine perceptible au niveau de l'équerre) donne un écart de 17 cm sur une distance de 10 m, et que pour un bâtiment d'une soixantaine de mètres, l'écart est de plus d'un mètre... Ce n'est pas acceptable ! La cathédrale s'effondrerait !

Autrefois, on utilisait la corde à 13 noeuds. C'était une très longue corde, avec 13 noeuds équidistants, et donc 12 intervalles égaux entre les noeuds. Un constructeur tenait les deux extrémités, un autre tenait le quatrième (3 intervalles entre le 1er et le 2e constructeur), un troisième le 8e (4 intervalles entre le 2e et le 3e, et donc, si on calcule bien, il reste 5 intervalles entre le 2e et le 1er). Une fois que les constructeurs se sont placés de manière à ce que les 3 longueurs de cordes soient bien tendues, on a tracé le triangle 3-4-5 en grande dimension, et donc, au niveau du deuxième constructeur, on a un angle droit... Si, si, c'est très facile : reprenez le croquis précédent en imaginant le 1er constructeur en A, le second en B, et le troisième en C.

Ce n'est pas le seul triangle rectangle dont les trois côtés sont entiers. Il y en a beaucoup d'autres, une infinité. Déjà, avec les triangles 6-8-10, 9-12-15, etc...

Par exemple, 5-12-13, 28-45-53, 33-56-65... Mais cela, c'est une autre histoire...